2次方程式の一般解

2次方程式
ax^2+bx+c=0
の一般解は
x={-b+-Root(b^2-4ac)}/2a
^2という表記は二乗を意味します(C言語の表記になぞらえて)


さて、2次方程式の一般解を証明題とする問題があります。
ax^2+bx+c=0
から、飛躍せずに式を変形して、一般解まで導く。
中学で、この証明を学ぶと、2次方程式の解は演繹的に求まると、
錯覚してしまい、そこから大学の数学まで罠にかかり続けます。
この証明題は一般解を先に覚えて帰納的に証明するより道はない。
その証明を日本数学会に、いつか発表しようとあたためています。
では、なぜ、今すぐにでも、そうしないか。
ガリレオ・ガリレイという歴史上の人物の逸話を知っているから。
科学は万能で、科学の礎となる数学に欠陥があってはならない。
そこで、証明できないことの証明は隠して、演繹的に一般解を、
求める方法は見つからないのか。
再検討するほうが、安全策であると考えて、もう少し数学を勉強
していたのですが、数学研究の原動力になっていた計算機関連の
予算が、民主党事業仕分けによって削減され、それが失業に影響
していると、その道筋で考えると、もう、地球は、回っていない。
回っていても、いなくても、興味の無い人が政権を保っている。
ならば、ブログで簡単に報告しても良いかな、と考えます。
1 : ax^2+bx+c=0
2 : x^2+(bx/a)+c/a=0 (両辺をaで割る)
ここで(n+m)^2=n^2+2nm+m^2を引っ張りだしてくる
(これは、解の計算ではなく、一般解の証明のために計算を増やす行為)
(bx/a)の項を2nmに見立てるために、
{y-(b/2a)}^2=y^2+(b/a)y+(b/2a)^2
これをx,yの二元方程式にして
x^2-(b/a)x+(b/2a)^2=y^2と置くと
{x-Root(b/2a)}^2=y^2
両辺の平方根を求めて
y=+-{x-Root(b/2a)}
y^2=x^2-{Root(b/a)}x+(b/2a)
これをを踏まえて、
2式のbx/aを消そうとすると、ん、なんかおかしい
因数分解の形にするのに消したいものが(bx/a)で
y^2とした場合のxの一次係数がRoot(b/a)になっている。
ここがb/aとなるには、
z^2=x^2-(b/2a)x+(b/2a)^2
として、
z^2={x-(b/2a)}^2
両辺の平方根を求めて
z=+-{x-(b/2a)}
つまり、x=z-(b/2a) もしくは x=-z+(b/2a)と置くと、
2式を(x + k)^2の形に変形して因数分解可能となる。
これを代入して(これとは、x=z-(b/2a)とした場合)
3 : {z-(b/2a)}^2+{z-(b/2a)}*(b/a)+(c/a)=0
3式を展開して
z^2-(b/a)*z+(b^2)/(a^2)+z*(b/a)-(b^2)/(2a^2)+(c/a)=0
z^2+{2(b^2)-(b^2)}/(2a^2)+(c/a)=0
z^2=-(b^2)/(2a^2)-(c/a)
z^2=-(b^2-4ac)/(2a^2)
右辺に代数がなくなったので、平方根を求めて
4 : z=+-Root[-{(b^2)-4ac)}/(2a^2)]
4式を計算して
z=+-Root[(b^2)-4ac)]/2a
ここで、式を、もとの形に戻すため
x=z-(b/2a)
から
z=x+(b/2a)
5:x+(b/2a)=+-Root[-{(2a^2*(b^2-4ac))+(b^2)}]/2a
6:x={-b+-Root(b^2-4ac)}/2a
ここで、一般解の形に辿り着きます。
なんのためにあるのか、わからないことを丸暗記するのが苦手で、
2次方程式の一般解について高校3年くらいまで、悩みました。