定積分て数字にするとなんぼか

マクドでなくモスバーガで昼食をとりました。
BLTは大変おいしいけれど、その前に会計で引きました。
840円のBLTセットはいつものマクドの1.8倍の価格。
同じ値段ならモスを選ぶけれど、1.8倍おいしいかな。
どうやって測りましょうか。

どうやって測るかという話のついで、定積分の話。
スタバにいくとテーブルで数学をしている女子をよく見かけます。
同じ人なのか分かるほどジロジロみるわけにもいきませんが、
たぶん学校の図書館よりスタバの方が落ち着くのでしょう。
持っているテキストは微分積分のようです。
微分積分微分までは高校の時に理解できました。
しかし積分に苦しんで教科書を丸暗記して試験を切り抜けて、
時間が経ってみると積分がどういうものなのか概念的理解がない。
ほんとうに積分の意味を理解したのは就職してから5年後です。
とくに、定積分は円の面積の求め方と似ていて分かると簡単です。
積分はaからbのx軸と関数で囲まれた領域の面積を求めます。
それでデルタxからシグマを求める説明を経て無限級数にいきます。
無限級数を使った極限計算が抽象的で突然わからない。
どこで分からなくなったのかというと面積の時点で飲み込めない、
それすらも分からなくなるくらい難しい問題です。
計算機を持っていても、どう計算していいか分からない問題です。
いきなり無限級数を使う教科書の飛躍した説明でなくて、
a=2,b=12,n=10くらいのデルタxを用意して計算してみると、
積分で求めようとしている内容が見えてくるかもしれません。
短冊のような長方形の面積の和から、段々とnの値を大きくしていく。
nが大きくなると短冊の底辺が小さくなって千切りのようになる。
底辺はx軸の細切れで高さはf(n)。これをf(n+1)でも同等の近似です。
千切りくらいまで来ると極限と近似値になりそうだよねという話。
積分の真値というのはコンピュータで計算させたとしても、
計算が永遠に続いてしまい、どこかで見切りをつけて止めないと、
いつまでたっても答えのでない類の計算になります。
だから、数学の試験などで式値が解答になっても実数は出せない。
n=1000で近似計算をしても試験時間中には計算が終わりません。
円周率が3.14なら定積分もn=100くらいが良いでしょう。
極限値を使って計算すると教科書に書かれていて、ではなんぼか。
先生に聞いても、おそらく誰ひとり実数でなんぼか答えられない。
そういう性質のものなのです。(デルタはΔと書きます)
最後に極限計算は現実的でないとの見地からの近似計算について。
教科書とは違った解答になりますがf(n)とf(n+1)を底と天井にした、
台形の面積の重ね合わせとした方がより近似になるf(x)もあります。